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3倍角の公式の覚え方や証明は？入試問題付きでわかりやすく解説

この記事を読むとわかること

・sinやcos、tanの3倍角の公式の語呂合わせや覚え方

・具体的な角度を代入して、公式の覚え間違いをチェックする方法

・3倍角の公式の証明

・3倍角の公式が必要になる入試問題

そもそも3倍角の公式とは？

3倍角の公式とは引数が3θの三角関数を引数がθの三角関数に変換する以下のような公式のことを指します。

3倍角の公式

cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\boldsymbol{\cos 3\theta = 4\cos ^3\theta-3\cos\theta}

sin⁡3θ=−4sin⁡3θ+3sin⁡θ\boldsymbol{\sin 3\theta = -4\sin ^3\theta+3\sin\theta}

tan⁡3θ=3tan⁡θ−tan⁡3θ1−3tan⁡2θ\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta-\tan ^3\theta}{1-3\tan ^2\theta}

このうちsinとcosの3倍角の公式は重要なので覚えておく必要がありますが非常に覚えづらいです。そこで、語呂合わせによる3倍角の公式の覚え方を教えたいと思います！

3倍角の公式の語呂合わせでの覚え方は？

cosの3倍角の公式の覚え方

cosの3倍角の公式は「シコって参上悲惨な子」という語呂合わせで簡単に覚えることができます！

語呂合わせのテンポが良いので、私はこれで一発で覚えることができました。cosの3倍角の公式が覚えられたら、sinの3倍角の公式はこれに形が似ているので簡単に覚えられます。

sinの3倍角の公式の覚え方

sinの3倍角の公式は、「cosの3倍角の公式でcosとsinを入れ替えてから-1倍したもの」と覚えることができます。

cosの3倍角の公式を語呂合わせで覚えて、それとsinの3倍角の公式との差異を覚えておけばよいというわけですね。

tanの3倍角の公式の覚え方

tan⁡3θ=sin⁡3θcos⁡3θ\tan3\theta = \frac{\sin3\theta}{\cos3\theta}より、上の2つの3倍角の公式を用いれば、引数がθ\thetaの三角関数だけで表すのは簡単に導くことができますね。

よって、tanの3倍角の公式はその場で導くようにして、覚えておく必要はないでしょう。そもそも、私の経験上、tanの3倍角の公式を使わないと困る場面というのはほぼないです。

3倍角の公式を間違えていないか簡単にチェックする方法

cosの3倍角の公式を書いたとき、「3と4の位置はこれで合っていたかな？」と不安になることはありませんか？

そんなときは、cos⁡3θ=0\cos3\theta=0となるθ\thetaを代入して、右辺も0になるかを確かめてみましょう！ 左辺が0なのに右辺が0にならなければ、その公式は間違っています。

例えば、θ=π6\theta=\frac{\pi}{6}（30°）なら、cos⁡3θ=cos⁡π2=0\cos3\theta=\cos\frac{\pi}{2}=0です。このときcos⁡θ=32\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}なので、正しい公式の右辺は

4(32)3−3⋅32=32(4⋅34−3)=04\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3-3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{\sqrt{3}}{2}\left(4\cdot\frac{3}{4}-3\right)=0

と、ちゃんと0になります。

一方、3と4を取り違えて3cos⁡3θ−4cos⁡θ3\cos^3\theta-4\cos\thetaと書いてしまうと、

3(32)3−4⋅32=32(3⋅34−4)=−738≠03\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3-4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{\sqrt{3}}{2}\left(3\cdot\frac{3}{4}-4\right) =-\frac{7\sqrt{3}}{8}\ne0

となるので、覚え間違いに気づけますね。

ただし、0になっただけで公式が正しいと証明できるわけではありません。 例えば、式全体の符号を逆にした3cos⁡θ−4cos⁡3θ3\cos\theta-4\cos^3\thetaも、この角度では0になってしまいます。符号まで確認したいときは、さらにθ=0\theta=0を代入して、左辺のcos⁡0=1\cos0=1と一致するかを確かめましょう。正しい式なら4−3=14-3=1ですが、符号が逆なら3−4=−13-4=-1になるので区別できます。

**「30°を入れて0になるか、0°を入れて1になるか」**とセットで覚えておくと、係数や符号の取り違えを手早くチェックできます！

sinでも同様に、θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}（60°）を代入して、右辺がsin⁡π=0\sin\pi=0になるか確かめられます。sin⁡θ=32\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}なので、−4(32)3+3⋅32=0-4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3+3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=0ですね。符号の確認にはθ=π2\theta=\frac{\pi}{2}（90°）を使い、右辺が−4+3=−1-4+3=-1となってsin⁡3π2=−1\sin\frac{3\pi}{2}=-1と一致するかを見ましょう。

3倍角の公式の証明は？

cosの3倍角の公式の証明

cosの3倍角の公式は加法定理や倍角公式を繰り返し用いることで証明できます。

cos⁡3θ=cos⁡(2θ+θ)=cos⁡2θcos⁡θ−sin⁡2θsin⁡θ=(2cos⁡2θ−1)cos⁡θ−(2sin⁡θcos⁡θ)sin⁡θ=2cos⁡3θ−cos⁡θ−2cos⁡θ(1−cos⁡2θ)=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\begin{align*}&\cos3\theta\\=&\cos(2\theta+\theta)\\=&\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta\\=&(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta\\=&2\cos^3\theta-\cos\theta-2\cos\theta(1-\cos^2\theta)\\=&4\cos^3\theta-3\cos\theta\end{align*}

3倍角の公式を忘れてしまったときはこのようにして導出してしまうのがよいでしょう。

sinの3倍角の公式の証明

sinの3倍角の公式も同様に加法定理や倍角公式を繰り返し用いることで証明できます。

sin⁡3θ=sin⁡(2θ+θ)=sin⁡2θcos⁡θ+cos⁡2θsin⁡θ=(2sin⁡θcos⁡θ)cos⁡θ+(1−2sin⁡2θ)sin⁡θ=2sin⁡θ(1−sin⁡2θ)+sin⁡θ−2sin⁡3θ=−4sin⁡3θ+3sin⁡θ\begin{align*}&\sin3\theta\\=&\sin(2\theta+\theta)\\=&\sin2\theta\cos\theta+\cos2\theta\sin\theta\\=&(2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta\\=&2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta\\=&-4\sin^3\theta+3\sin\theta\end{align*}

tanの3倍角の公式の証明

tanの3倍角の公式は、sinとcosの3倍角の公式を用いて証明することができます。

tan⁡3θ=sin⁡3θcos⁡3θ=−4sin⁡3θ+3sin⁡θ4cos⁡3θ−3cos⁡θ=sin⁡θ(−4sin⁡2θ+3)cos⁡θ(4cos⁡2θ−3)=tan⁡θ4cos⁡2θ−14cos⁡2θ−3=tan⁡θ411+tan⁡2θ−1411+tan⁡2θ−3=3tan⁡θ−tan⁡3θ1−3tan⁡2θ\begin{align*}&\tan3\theta\\=&\frac{\sin3\theta}{\cos3\theta}\\=&\frac{-4\sin^3\theta+3\sin\theta}{4\cos^3\theta-3\cos\theta}\\=&\frac{\sin\theta(-4\sin^2\theta+3)}{\cos\theta(4\cos^2\theta-3)}\\=&\tan\theta\frac{4\cos^2\theta-1}{4\cos^2\theta-3}\\=&\tan\theta\frac{4\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}-1}{4\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}-3}\\=&\frac{3\tan\theta-\tan ^3\theta}{1-3\tan ^2\theta}\end{align*}

3倍角の公式を用いずにシンプルに加法定理や倍角公式を繰り返し用いても証明することができます。

tan⁡3θ=tan⁡(2θ+θ)=tan⁡2θ+tan⁡θ1−tan⁡2θtan⁡θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ+tan⁡θ1−2tan⁡θ1−tan⁡2θtan⁡θ=2tan⁡θ+tan⁡θ(1−tan⁡2θ)(1−tan⁡2θ)−2tan⁡2θ=3tan⁡θ−tan⁡3θ1−3tan⁡2θ\begin{align*}&\tan3\theta\\=&\tan(2\theta+\theta)\\=&\frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-\tan2\theta\tan\theta}\\=&\frac{\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}+\tan\theta}{1-\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tan\theta}\\=&\frac{2\tan\theta+\tan\theta(1-\tan^2\theta)}{(1-\tan^2\theta)-2\tan^2\theta}\\=&\frac{3\tan\theta-\tan ^3\theta}{1-3\tan ^2\theta}\end{align*}

3倍角の公式を用いる入試問題3選

3倍角の公式を覚えたら、公式を用いる入試問題を解いていきましょう！

問題1

解答・解説

2017年度の東大理系数学第一問の問題です。

(1)においてf(θ)f(\theta)をcos⁡θ\cos\thetaだけで表すのは、3倍角の公式と倍角公式を覚えていれば一瞬ですよね。(2)は微分ができれば特に難しいところもなく解けてしまいます。

解説は以下の記事を読んでください！

関連記事 東大理系数学2017の入試問題・解答解説・難易度

問題2

解答・解説

2π9\frac{2\pi}{9}は有名角でないので、代入して計算するには、何らかの公式を用いて、有名角に変換する必要があります。倍角公式などを使っても有名角にはならないので、3倍角の公式を用いる必要がありそうですね。

それを踏まえて式を見てみると、8x3−6x8x^3-6xの部分は、4x3−3x4x^3-3xという式の2倍になっていて、これが4cos⁡3θ−3cos⁡θ4\cos ^3\theta-3\cos\thetaという3倍角の公式の形と一緒であることに気づけます。

(2)では、3倍角の公式を使って変形するとf(x)=0f(x)=0の解だと分かるもののうち、cos⁡2π9\cos\frac{2\pi}{9}とは異なるものを2つ見つけるだけです。

 

(3)では、cos⁡2π9\cos\frac{2\pi}{9}が8x3−6x+1=08x^3-6x+1=0という3次方程式の実数解のうち最大のものだと分かっているので、f(x)f(x)の増減やf(x)f(x)に代入したときの値などがわかっていれば値の大小関係が分かる、という話ですね。

「方程式g(x)=0g(x)=0がα<x<β\alpha < x<\betaの範囲に実数解を持つことを示せ」

という証明問題を出された時にはg′(x)g'(x)がα<x<β\alpha<x<\betaの範囲で単調増加して、g(α)<0g(\alpha)<0かつg(β)>0g(\beta)>0であることを示すというようなケースが多いという話を思い出すと、この問題の解き方にも納得できるかと思います。

 

(3)で証明した事実を用いれば(4)は難しくないでしょう。

34\frac{3}{4}や74i\frac{\sqrt{7}}{4}iはcos⁡θ\cos\thetaやsin⁡θ\sin\thetaを用いて表せるようなθ\thetaが決定できないですが、(3)からπ4\frac{\pi}{4}と2π9\frac{2\pi}{9}の間にあることは分かるので、これによって答えが求まります。

(4)以降は数Ⅲの複素数平面の範囲になるので、文系の人は(3)まで解ければOKです。

 

以下、解答例です。

(1)　3倍角の公式より、

4cos⁡32π9−3cos⁡2π9=cos⁡2π3=−124\cos^3\frac{2\pi}{9}-3\cos\frac{2\pi}{9}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}

であるから、

f(cos⁡2π9)=2(4cos⁡32π9−3cos⁡2π9)+1=0\begin{align*}f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)=&2\left(4\cos^3\frac{2\pi}{9}-3\cos\frac{2\pi}{9}\right)+1\\=&0\end{align*}

 

(2)　(1)よりcos⁡2π9\cos\frac{2\pi}{9}はf(x)=0f(x)=0の実数解の1つである。

(1)と同様にして、cos⁡4π9, cos⁡8π9\cos\frac{4\pi}{9},\,\cos\frac{8\pi}{9}もf(x)=0f(x)=0の実数解であり、また、0<x<π0<x<\piの範囲においてcos⁡x\cos{x}は単調減少するので、cos⁡8π9<cos⁡4π9<cos⁡2π9\cos\frac{8\pi}{9}<\cos\frac{4\pi}{9}<\cos\frac{2\pi}{9}が成り立つ。

したがって、f(x)=0f(x)=0は相異なる3つの実数解をもち、そのうち最大のものがcos⁡2π9\cos\frac{2\pi}{9}であることがしめされた。

 

(3)

f′(x)=24x2−6=6(4x2−1)f'(x)=24x^2-6=6(4x^2-1)

であるから、x≧12=cos⁡π4x\geqq \frac{1}{\sqrt{2}}=\cos\frac{\pi}{4}においてf(x)f(x)は単調増加する。よって、

f(cos⁡π4)<f(34)<f(cos⁡2π9)f\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)<f\left(\frac{3}{4}\right)<f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)

が言えれば題意は示される。

f(cos⁡π4)=1−2<1−1.4=−0.4f\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)=1-\sqrt{2}<1-1.4=-0.4

f(34)=−18=−0.125f\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{1}{8}=-0.125

f(cos⁡2π9)=0f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)=0

より、

f(cos⁡π4)<f(34)<f(cos⁡2π9)f\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)<f\left(\frac{3}{4}\right)<f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)

であるから、題意成立。

 

(4)　(34)2+(74)2=1\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=1および(3)から、2π9<θ<π4\frac{2\pi}{9}<\theta<\frac{\pi}{4}をみたす実数θ\thetaを用いて、

34+74i=cos⁡θ+isin⁡θ\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}i=\cos\theta+i\sin\theta

と書くことができる。

zzの実部と虚部はともに正であるから、求めるnnは11ではない。

ド・モアブルの定理より、

z2=cos⁡2θ+isin⁡2θz^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta

であり、このとき、4π9<2θ<π2\frac{4\pi}{9}<2\theta<\frac{\pi}{2}より、z2z^2の実部と虚部はともに正であるから、求めるnnは22ではない。

同様にして、n=3, 4, ⋯n=3,\,4,\,\cdotsについて調べていく。

2π3<3θ<3π4\frac{2\pi}{3}<3\theta<\frac{3\pi}{4}より、z3z^3の実部は負であるから、求めるnnは33ではない。

8π9<4θ<π\frac{8\pi}{9}<4\theta<\piより、z4z^4の実部は負であるから、求めるnnは44ではない。

10π9<5θ<5π4\frac{10\pi}{9}<5\theta<\frac{5\pi}{4}より、z5z^5の実部は負であるから、求めるnnは55ではない。

4π3<6θ<3π2\frac{4\pi}{3}<6\theta<\frac{3\pi}{2}より、z6z^6の実部は負であるから、求めるnnは66ではない。

14π9<7θ<7π4\frac{14\pi}{9}<7\theta<\frac{7\pi}{4}より、z7z^7の実部は正で虚部は負である。

16π9<8θ<2π\frac{16\pi}{9}<8\theta<2\piより、z8z^8の実部は正で虚部は負である。よって、求めるnnは77ではない。

2π<9θ<9π42\pi<9\theta<\frac{9\pi}{4}より、z9z^9の実部と虚部はともに正であるから、n=8n=8が題意を満たす最小の自然数である。したがって、

n=8\boldsymbol{n=8}

問題3

解答・解説

立体図形の体積を積分で求める問題です。

回転軸を含むような平面で切断したあと、グラフを描いて積分の立式をします。積分するときに4sin⁡3θ4\sin^3\thetaを積分する場面が出てきますが、そこで3倍角の公式を使うと

4sin⁡3θ=3sin⁡θ−sin⁡3θ4\sin^3\theta = 3\sin\theta-\sin 3\theta

簡単に次数下げを行うことができます。

ただし、sin⁡3θ\sin^3\thetaを積分するだけなら、3倍角の公式を使わなくても、

∫sin⁡3θdθ=∫sin⁡θ⋅sin⁡2θdθ=∫sin⁡θ⋅(1−cos⁡2θ)dθ=∫{sin⁡θ−sin⁡θcos⁡2θ}dθ=−cos⁡θ+13cos⁡3θ+C(Cは積分定数)\begin{align*}\int\sin^3\theta d\theta=&\int\sin\theta\cdot\sin^2\theta d\theta\\=&\int\sin\theta\cdot(1-\cos^2\theta )d\theta&\\=&\int\{\sin\theta-\sin\theta\cos^2\theta\}d\theta\\=&-\cos\theta+\frac{1}{3}\cos^3\theta+C(C\text{は積分定数})\end{align*}

と変形することによっても積分できます。

数Ⅲの積分の範囲になるので文系の人は解けなくてOKです。

解説は以下の記事を読んでください！

関連記事 東大理系数学2016の入試問題・解答解説・難易度

まとめ

・cosの3倍角の公式は「シコって参上、悲惨な子」という語呂合わせで覚える！

・sinの3倍角の公式はcosの3倍角の公式のcosとsinを入れ替えて-1倍すると覚える！

・tanの3倍角の公式は覚えなくてOK

・cosの3倍角の公式は、30°を代入して0になるか、0°を代入して1になるかで覚え間違いをチェック！

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この記事を書いた人

管

齋藤 航貴

東京大学医学部医学科卒の医師。受験本番ではセンター数学満点、東大2次試験の数学は104点。東大受験を突破した経験を活かして、主に受験数学に関する記事を執筆しています。

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