この記事を読むとわかること
・sinやcos、tanの3倍角の公式の語呂合わせや覚え方
・3倍角の公式の証明
・3倍角の公式が必要になる入試問題
そもそも3倍角の公式とは？
3倍角の公式とは引数が3θの三角関数を引数がθの三角関数に変換する以下のような公式のことを指します。
3倍角の公式
\[\boldsymbol{\cos 3\theta = 4\cos ^3\theta-3\cos\theta}\]
\[\boldsymbol{\sin 3\theta = -4\sin ^3\theta+3\sin\theta}\]
\[\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta-\tan ^3\theta}{1-3\tan ^2\theta}\]
このうちsinとcosの3倍角の公式は重要なので覚えておく必要がありますが非常に覚えづらいです。そこで、語呂合わせによる3倍角の公式の覚え方を教えたいと思います！
3倍角の公式の語呂合わせでの覚え方は？
cosの3倍角の公式の覚え方
cosの3倍角の公式は「シコって参上悲惨な子」という語呂合わせで簡単に覚えることができます！
語呂合わせのテンポが良いので、私はこれで一発で覚えることができました。cosの3倍角の公式が覚えられたら、sinの3倍角の公式はこれに形が似ているので簡単に覚えられます。
sinの3倍角の公式の覚え方
sinの3倍角の公式は、「cosの3倍角の公式でcosとsinを入れ替えてから-1倍したもの」と覚えることができます。
cosの3倍角の公式を語呂合わせで覚えて、それとsinの3倍角の公式との差異を覚えておけばよいというわけですね。
tanの3倍角の公式の覚え方
$\tan3\theta = \frac{\sin3\theta}{\cos3\theta}$より、上の2つの3倍角の公式を用いれば、引数が$\theta$の三角関数だけで表すのは簡単に導くことができますね。
よって、tanの3倍角の公式はその場で導くようにして、覚えておく必要はないでしょう。そもそも、私の経験上、tanの3倍角の公式を使わないと困る場面というのはほぼないです。
3倍角の公式の証明は？
cosの3倍角の公式の証明
cosの3倍角の公式は加法定理や倍角公式を繰り返し用いることで証明できます。
\[\begin{align*}&\cos3\theta\\=&\cos(2\theta+\theta)\\=&\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta\\=&(2\cos^2\theta-1)\cos\theta+(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta\\=&2\cos^3\theta-\cos\theta+2\cos\theta(1-\cos^2\theta)\\=&4\cos^3\theta-3\cos\theta\end{align*}\]
3倍角の公式を忘れてしまったときはこのようにして導出してしまうのがよいでしょう。
sinの3倍角の公式の証明
sinの3倍角の公式も同様に加法定理や倍角公式を繰り返し用いることで証明できます。
\[\begin{align*}&\sin3\theta\\=&\sin(2\theta+\theta)\\=&\sin2\theta\cos\theta+\cos2\theta\sin\theta\\=&(2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta\\=&2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta\\=&-4\sin^3\theta+3\sin\theta\end{align*}\]
tanの3倍角の公式の証明
tanの3倍角の公式は、sinとcosの3倍角の公式を用いて証明することができます。
\[\begin{align*}&\tan3\theta\\=&\frac{\sin3\theta}{\cos3\theta}\\=&\frac{-4\sin^3\theta+3\sin\theta}{4\cos^3\theta-3\cos\theta}\\=&\frac{\sin\theta(-4\sin^3\theta+3)}{\cos\theta(4\cos^2\theta-3)}\\=&\tan\theta\frac{4\cos^2\theta-1}{4\cos^2\theta-3}\\=&\tan\theta\frac{4\frac{1}{1+\tan^2\theta}-1}{4\frac{1}{1+\tan^2\theta}-3}\\=&\frac{3\tan\theta-\tan ^3\theta}{1-3\tan ^2\theta}\end{align*}\]
3倍角の公式を用いずにシンプルに加法定理や倍角公式を繰り返し用いても証明することができます。
\[\begin{align*}&\tan3\theta\\=&\tan(2\theta+\theta)\\=&\frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-\tan2\theta\tan\theta}\\=&\frac{\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}+\tan\theta}{1-\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tan\theta}\\=&\frac{2\tan\theta+\tan\theta(1-\tan^2\theta)}{(1-\tan^2\theta)-2\tan^2\theta}\\=&\frac{3\tan\theta-\tan ^3\theta}{1-3\tan ^2\theta}\end{align*}\]
3倍角の公式を用いる入試問題3選
3倍角の公式を覚えたら、公式を用いる入試問題を解いていきましょう！
問題1
解答・解説
2017年度の東大理系数学第一問の問題です。
(1)において$f(\theta)$を$\cos\theta$だけで表すのは、3倍角の公式と倍角公式を覚えていれば一瞬ですよね。(2)は微分ができれば特に難しいところもなく解けてしまいます。
解説は以下の記事を読んでください！
問題2
解答・解説
$\frac{2\pi}{9}$は有名角でないので、代入して計算するには、何らかの公式を用いて、有名角に変換する必要があります。倍角公式などを使っても有名角にはならないので、3倍角の公式を用いる必要がありそうですね。
それを踏まえて式を見てみると、$8x^3-6x$の部分は、$4x^3-3x$という式の2倍になっていて、これが$4\cos ^3\theta-3\cos\theta$という3倍角の公式の形と一緒であることに気づけます。
(2)では、3倍角の公式を使って変形すると$f(x)=0$の解だと分かるもののうち、$\cos\frac{2\pi}{9}$とは異なるものを2つ見つけるだけです。
(3)では、$\cos\frac{2\pi}{9}$が$8x^3-6x+1=0$という3次方程式の実数解のうち最大のものだと分かっているので、$f(x)$の増減や$f(x)$に代入したときの値などがわかっていれば値の大小関係が分かる、という話ですね。
「方程式$g(x)=0$が$\alpha < x<\beta$の範囲に実数解を持つことを示せ」
という証明問題を出された時には$g'(x)$が$\alpha<x<\beta$の範囲で単調増加して、$g(\alpha)<0$かつ$g(\beta)>0$であることを示すというようなケースが多いという話を思い出すと、この問題の解き方にも納得できるかと思います。
(3)で証明した事実を用いれば(4)は難しくないでしょう。
$\frac{3}{4}$や$\frac{\sqrt{7}}{4}i$は$\cos\theta$や$\sin\theta$を用いて表せるような$\theta$が決定できないですが、(3)から$\frac{\pi}{4}$と$\frac{2\pi}{9}$の間にあることは分かるので、これによって答えが求まります。
(4)以降は数Ⅲの複素数平面の範囲になるので、文系の人は(3)まで解ければOKです。
以下、解答例です。
(1) 3倍角の公式より、
\[4\cos^3\frac{2\pi}{9}-3\cos\frac{2\pi}{9}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\]
であるから、
\[\begin{align*}f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)=&2\left(4\cos^3\frac{2\pi}{9}-3\cos\frac{2\pi}{9}\right)+1\\=&0\end{align*}\]
(2) (1)より$\cos\frac{2\pi}{9}$は$f(x)=0$の実数解の1つである。
(1)と同様にして、$\cos\frac{4\pi}{9},\,\cos\frac{8\pi}{9}$も$f(x)=0$の実数解であり、また、$0<x<\pi$の範囲において$\cos{x}$は単調減少するので、$\cos\frac{8\pi}{9}<\cos\frac{4\pi}{9}<\cos\frac{2\pi}{9}$が成り立つ。
したがって、$f(x)=0$は相異なる3つの実数解をもち、そのうち最大のものが$\cos\frac{2\pi}{9}$であることがしめされた。
(3)
\[f'(x)=24x^2-6=6(4x^2-1)\]
であるから、$x\geqq \frac{1}{\sqrt{2}}=\cos\frac{\pi}{4}$において$f(x)$は単調増加する。よって、
\[f\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)<f\left(\frac{3}{4}\right)<f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)\]
が言えれば題意は示される。
\[f\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)=1-\sqrt{2}<1-1.4=-0.4\]
\[f\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{1}{8}=-0.125\]
\[f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)=0\]
より、
\[f\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)<f\left(\frac{3}{4}\right)<f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)\]
であるから、題意成立。
(4) $\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=1$および(3)から、$\frac{2\pi}{9}<\theta<\frac{\pi}{4}$をみたす実数$\theta$を用いて、
\[\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}i=\cos\theta+i\sin\theta\]
と書くことができる。
$z$の実部と虚部はともに正であるから、求める$n$は$1$ではない。
ド・モアブルの定理より、
\[z^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta\]
であり、このとき、$\frac{4\pi}{9}<2\theta<\frac{\pi}{2}$より、$z^2$の実部と虚部はともに正であるから、求める$n$は$2$ではない。
同様にして、$n=3,\,4,\,\cdots$について調べていく。
$\frac{2\pi}{3}<3\theta<\frac{3\pi}{4}$より、$z^3$の実部は負であるから、求める$n$は$3$ではない。
$\frac{8\pi}{9}<4\theta<\pi$より、$z^4$の実部は負であるから、求める$n$は$4$ではない。
$\frac{10\pi}{9}<5\theta<\frac{5\pi}{4}$より、$z^5$の実部は負であるから、求める$n$は$5$ではない。
$\frac{4\pi}{3}<6\theta<\frac{3\pi}{2}$より、$z^6$の実部は負であるから、求める$n$は$6$ではない。
$\frac{14\pi}{9}<7\theta<\frac{7\pi}{4}$より、$z^7$の実部は正で虚部は負である。
$\frac{16\pi}{9}<8\theta<2\pi$より、$z^8$の実部は正で虚部は負である。よって、求める$n$は$7$ではない。
$2\pi<9\theta<\frac{9\pi}{4}$より、$z^9$の実部と虚部はともに正であるから、$n=8$が題意を満たす最小の自然数である。したがって、
\[\boldsymbol{n=8}\]
問題3
解答・解説
立体図形の体積を積分で求める問題です。
回転軸を含むような平面で切断したあと、グラフを描いて積分の立式をします。積分するときに$4\sin^3\theta$を積分する場面が出てきますが、そこで3倍角の公式を使うと
\[4\sin^3\theta = 3\sin\theta-\sin 3\theta\]
簡単に次数下げを行うことができます。
ただし、$\sin^3\theta$を積分するだけなら、3倍角の公式を使わなくても、
\[\begin{align*}\int\sin^3\theta d\theta=&\int\sin\theta\cdot\sin^2\theta d\theta\\=&\int\sin\theta\cdot(1-\cos^2\theta )d\theta&\\=&\int\{\sin\theta-\sin\theta\cos^2\theta\}d\theta\\=&-\cos\theta+\frac{1}{3}\cos^3\theta+C(Cは積分定数)\end{align*}\]
と変形することによっても積分できます。
数Ⅲの積分の範囲になるので文系の人は解けなくてOKです。
解説は以下の記事を読んでください！
まとめ
・cosの3倍角の公式は「シコって参上、悲惨な子」という語呂合わせで覚える！
・sinの3倍角の公式はcosの3倍角の公式のcosとsinを入れ替えて-1倍すると覚える！
・tanの3倍角の公式は覚えなくてOK
