東大理系数学2017の入試問題・解答解説・難易度

\[\begin{align*}&\cos 3\theta+a\cos 2\theta+b\cos \theta\\=&4\cos^3\theta-3\cos\theta+a(2\cos^2\theta -1)+b\cos\theta\\=&4\cos^3\theta+2a\cos^2\theta+(b-3)\cos\theta-a\end{align*}\]

であるから、

\[\boldsymbol{f(\theta)=4x^3+2ax^2+(b-3)x-a}\]

また、

\[\begin{align*}&\frac{f(\theta)-f(0)}{\cos\theta-1}\\=&\frac{4(x^3-1)+2a(x^2-1)+(b-3)(x-1)}{x-1}\\=&4(x^2+x+1)+2a(x+1)+b-3\\=&4x^2+2(a+2)x+2a+b+1\end{align*}\]

であるから、

\[\boldsymbol{g(\theta)=4x^2+2(a+2)x+2a+b+1}\]

\[\begin{align*}&4x^2+2(a+2)x+b+1\\=&4\left(x+\frac{a+2}{4}\right)^2-\frac{(a+2)^2}{4}+2a+b+1\\=&4\left(x+\frac{a+2}{4}\right)^2-\frac{(a-2)^2}{4}+b+1\end{align*}\]

であるから、$0<\theta<\pi$のとき、$-1<x<1$であることも考えると、求める条件は、

\[\begin{align*}&-1<-\frac{a+2}{4}<1,\,-\frac{(a-2)^2}{4}+b+1=0\\\Leftrightarrow &\boldsymbol{-6<a<2,\,b=\frac{(a-2)^2}{4}-1}\end{align*}\]

これを図示すると、以下の実線部。(ただし、白丸は含まない)

6秒後に点$\mathrm{P}$が存在しうる$y=x$上の点は、$(0,\,0),\,(\pm1,\,\pm1),\,(\pm2,\,\pm2),\,(\pm3,\,\pm3)$(複号同順)の7つの点だけある。

(i)$(0,\,0)$にある場合

右に移動する回数と左に移動する回数が等しく、上に移動する回数と下に移動する回数が等しければいいので、確率は、

\[\begin{align*}&2\cdot_6\mathrm{C}_3\left(\frac{1}{4}\right)^6+2\cdot_6\mathrm{C}_2\cdot_4\mathrm{C}_2\cdot_2\mathrm{C}_1\left(\frac{1}{6}\right)^6\\=&\frac{25}{256}\end{align*}\]

(ii)$(1,\,1)$にある場合

左に移動する回数よりも右に移動する回数が1回多く、下に移動する回数よりも上に移動する回数が1回多ければよいので、確率は、

\[\begin{align*}&2\cdot_6\mathrm{C}_3\cdot_3\mathrm{C}_2\left(\frac{1}{4}\right)^6+_6\mathrm{C}_2\cdot_4\mathrm{C}_2\cdot_2\mathrm{C}_1\left(\frac{1}{4}\right)^6\\=&\frac{75}{1024}\end{align*}\]

対称性より、$(-1,\,-1)$にある場合もこの確率に等しい。

(iii)$(2,\,2)$にある場合

左に移動する回数よりも右に移動する回数が2回多く、下に移動する回数よりも上に移動する回数が2回多ければよいので、確率は、

\[\begin{align*}&2\cdot_6\mathrm{C}_3\cdot_3\mathrm{C}_2\left(\frac{1}{4}\right)^6\\=&\frac{15}{512}\end{align*}\]

対称性より、$(-2,\,-2)$にある場合もこの確率に等しい。

(iv)$(3,\,3)$にある場合

右に3回移動し、上3回移動すればよいので、確率は、

\[\begin{align*}&_6\mathrm{C}_3\left(\frac{1}{4}\right)^6\\=&\frac{5}{1024}\end{align*}\]

対称性より、$(-3,\,-3)$にある場合もこの確率に等しい。

以上より、求める確率は、

\[\frac{25}{256}+2\cdot\frac{75}{1024}+2\cdot\frac{15}{512}+2\cdot\frac{5}{1024}=\boldsymbol{\frac{5}{16}}\]

点$\mathrm{P}$は、直線$y=x+k(kは整数)$上に存在し、右もしくは下に移動すると$k$の値は1だけ小さくなり、上もしくは左に移動すると$k$の値は1だけ大きくなる。

よって、6秒後に点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上に存在することは、「右または下に移動した回数」と「上または左に移動に移動した回数」が等しいことと同値である。

したがって、求める確率は、

\[_6\mathrm{C}_3\left(\frac{1}{2}\right)^6=\boldsymbol{\frac{5}{16}}\]

(1)の過程より、$\boldsymbol{\frac{25}{256}}$

6秒後に$y=-x$にある確率は対称性より(1)で求めた確率に等しく、$\frac{5}{16}$。原点$O$にあるとき「$y=x$上にあり、かつ、$y=-x$上にある」から、求める確率は、

\[\left(\frac{5}{16}\right)^2=\boldsymbol{\frac{25}{256}}\]

点$z$が直線$L$上を動くとき、

\[|z|=|z-\alpha|\]

をみたす。このとき、$w\ne 0$のもとで、$z=\frac{1}{w}$であるから、これを上の式に代入して、

\[\begin{align*}&\left|\frac{1}{w}\right|=\left|\frac{1}{w}-\alpha\right|\\\Leftrightarrow &\left|\frac{1}{\alpha}\right|=|w-\frac{1}{\alpha}|\end{align*}\]

よって、

\[\boldsymbol{円の中心は\frac{1}{\alpha},\,半径は\left|\frac{1}{\alpha}\right|}\]

\[\beta=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\,\beta^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\]

より、点$\beta$と点$\beta^2$を結ぶ線分は、「点$-1$と点$0$を結ぶ線分の垂直二等分線のうち、原点からの距離が1以下の部分」と言い換えることができる。

(1)の結果より、求める軌跡は$-1$を中心とする半径$1$の円上にあり、また、

\[|w|=\frac{1}{|z|}\]

であるから、

\[0<|z|\leqq 1\Leftrightarrow |w|\geqq 1\]

したがって、求める軌跡は以下の図の太線部。(ただし、黒丸は含む)

\[\boldsymbol{a_1=4},\,\boldsymbol{a_2=18}\]

\[\begin{align*}a_1a_n=&\left(p-\frac{1}{p}\right)\left\{p^n-\left(\frac{1}{p}\right)^n\right\}\\=&p^{n+1}+\left(\frac{1}{p}\right)^{n+1}-p^{n-1}-\left(\frac{1}{p}\right)^{n-1}\\=&\boldsymbol{a_{n+1}-a_{n-1}}\end{align*}\]

$a_n$が自然数であることを数学的帰納法によって示す。

(i)$n=1,\,2$のとき、

(1)より、たしかに自然数となる。

(ii)$n=k,\,k+1(kは自然数)$のときに成立すると仮定する、すなわち、$a_k,\,a_{k+1}$が自然数であると仮定すると、(2)の式より、

\[a_{k+2}=4a_k+a_{k+1}\]

が成り立つので、$a_{k+2}$も自然数となる。

以上より、題意は示された。

二項定理より、

\[\begin{align*}p^n=&(2^n+_nC_22^{n-2}\cdot5+\cdots)\\&+(_nC_12^{n-1}+_nC_32^{n-3}+\cdots)\sqrt{5}\end{align*}\]

であるので、自然数$b_n,\,c_n$を用いて、$p_n=b_n+c_n\sqrt{5}$と表せる。

同様にして、

\[\begin{align*}\left(-\frac{1}{p}\right)^n=&(2^n+_nC_22^{n-2}\cdot5+\cdots)\\&+(_nC_12^{n-1}+_nC_32^{n-3}+\cdots)\sqrt{5}\end{align*}\]

より、$\left(-\frac{1}{p}\right)^n=b_n+c_n\sqrt{5}$となる。

したがって、$a_n=2b_n$が分かるので、$a_n$は自然数であることが示された。

(1)(2)より、

\[a_{n+1}=4a_n+a_{n-1}\]

であるので、$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数は$a_n$と$a_{n-1}$の最大公約数に等しいと言えるので、これを繰り返し用いれば、$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数は$a_2$と$a_1$の公約数でもあることが分かる。

(1)より、$a_1$と$a_2$の公約数は$2$であるから、求める最大公約数は$\boldsymbol{2}$

直線$y=ax+b$が共通接線であるとき、$x=y^2+k$から$y$を消去した方程式

\[\begin{align*}&x=(ax+b)^2+k\\\Leftrightarrow &a^2x^2+(2ab-1)x+b^2+k=0\end{align*}\]

が重解を持つので、

\[a\ne0かつ(2ab-1)^2-4a^2(b^2+k)=0\]

また、$y=ax+b$と$y=x^2+k$から$y$を消去した方程式

\[x^2-ax+k-b=0\]

も重解を持つので、

\[a^2-4(k-b)=0\]

2式より、$a\ne0,\,-1$のもとで、

\[\begin{align*}&\left\{\begin{array}{l}-4ab+1-4a^2k=0\\a^2-4(k-b)=0\end{array}\right.\\\Leftrightarrow &\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{b=\frac{-a^3+a^2-a+1}{4a}}\\\boldsymbol{k=\frac{a^2-a+1}{4a}}\end{array}\right.\end{align*}\]

傾きが$2$の共通接線が存在するとき、(1)の結果より、

\[k=\frac{2^2-2+1}{4\cdot2}=\frac{3}{8}\]

だと分かる。このとき、$a\ne 0$のもとで、

\[\frac{a^2-a+1}{4a}=\frac{3}{8}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2},\,2\]

であるから、これをそれぞれ$b=\frac{-a^3+a^2-a+1}{4a}$に代入して、

\[(a,\,b)=\left(\frac{1}{2},\,\frac{5}{16}\right),\,\left(2,\,-\frac{5}{8}\right)\]

を満たすとき、共通接線になることがわかる。

また、$a=-1$のときについて考える。$y=-x+b$が共通接線だとすると、$y=x^2+\frac{3}{8}$から$y$を消去した2次方程式

\[x^2+x+\frac{3}{8}-b=0\]

が重解を持つので、

\[1-4\left(\frac{3}{8}-b\right)=0\Leftrightarrow b=\frac{1}{8}\]

が分かる。$y=-x+\frac{1}{8}$と$x=y^2+\frac{3}{8}$から$x$を消去した2次方程式

\[y^2+y+\frac{1}{4}=0\]

は重解として$y=-\frac{1}{2}$を持つので、$y=-x+\frac{1}{8}$も共通接線である。

以上の議論から、共通接線が3本存在することは示された。また、その共通接線の傾き$a$と$y$切片$b$は、

\[\boldsymbol{(a,\,b)=\left(\frac{1}{2},\,\frac{5}{16}\right),\,\left(2,\,-\frac{5}{8}\right),\,\left(-1,\,\frac{1}{8}\right)}\]

点$\mathrm{Q}$が$(0,\,0,\,1)$にあるとき、点$\mathrm{P}$の動く範囲は下図の太線部になる。

よって、点$\mathrm{P}$の$x$座標がとりうる値の範囲は、

\[\boldsymbol{-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

また、上図より、$\angle\mathrm{AOP}$は、点$\mathrm{P}$が$\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\,0,\,\frac{1}{2}\right)$にあるときに最小、$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\,0,\,\frac{1}{2}\right)$にあるときに最大となり、その間を連続的に変化するので、求める$\theta$の範囲は、

\[\boldsymbol{30^{\circ}\leqq \theta \leqq 150^{\circ}}\]

$30^{\circ}\leqq \theta \leqq 150^{\circ}$より、$K$は、球$x^2+y^2+z^2=1$のうち、$\angle\mathrm{AOP}\leqq 30^{\circ}$、$\angle\mathrm{AOP}\geqq 150^{\circ}$を満たす範囲にある円錐面の外側の部分に等しい。

点$\mathrm{P}$の$x$座標がとりうる値の範囲が$-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq\frac{\sqrt{3}}{2}$であることも考慮すると、求める体積は、球のうち$-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq\frac{\sqrt{3}}{2}$の体積から、底面の半径が$\frac{1}{2}$で高さが$\frac{\sqrt{3}}{2}$の円錐2つ分の体積を除いたものになるので、

\[\begin{align*}&\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\pi(1-x^2)dx-2\cdot \frac{\pi}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{3}\\=&\boldsymbol{\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi}\end{align*}\]

点$\mathrm{Q}$が$(0,\,0,\,1)$にあるとき、線分$\mathrm{OP}$の動く範囲は(1)の図より円錐の側面になる。この方程式は、

\[x^2+y^2=3z^2(0\leqq z\leqq \frac{1}{2})\]

である。これと$x=k\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq k\leqq\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$の交線は、

\[3z^2-y^2=k^2(0\leqq z\leqq \frac{1}{2})\]

という双曲線になる。これを$x$軸を中心に回転させたときに通過する部分の面積を求めよう。

$x$軸に最も近い点は双曲線の頂点である$(y,z)=\left(0,\,\frac{k}{\sqrt{3}}\right)$であり、$x$軸から最も遠い点は、$(y,z)=\left(\pm\sqrt{\frac{3}{4}-k^2},\,\frac{1}{2}\right)$であるから、回転させた時に通過する部分の面積は、

\[\pi\left(1-k^2\right)-\pi\cdot\frac{k^2}{3}\]

であるから、求める体積は、これを$-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq k\leqq\frac{\sqrt{3}}{2}$の範囲で積分して、

\[\begin{align*}&\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\pi\left(1-\frac{4}{3}k^2\right)dk\\=&2\pi\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(1-\frac{4}{3}k^2\right)dk\\=&2\pi\left[k-\frac{4}{9}k^3\right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\=&\boldsymbol{\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi}\end{align*}\]