部分積分の公式とは？証明・覚え方・使うべき時を例題付きで解説

部分積分の公式とは

部分積分とは、2つ関数の積を積分するときに、計算が簡単な形に変形するテクニックのことを指します。部分積分の公式は不定積分と定積分のどちらもあります。

不定積分の部分積分の公式

不定積分の部分積分の公式は、$f(x),\,g(x)$を微分可能な関数としたとき、以下のようになります。
\[\int f(x)g'(x) dx= f(x)g(x) – \int f'(x)g(x)dx\]

不定積分の部分積分の公式の証明

不定積分の部分積分の公式は、積の微分公式から少し変形するだけで簡単に示すことができます。証明は以下のようになります。

定積分の部分積分の公式

定積分の部分積分の公式は、$f(x),\,g(x)$を微分可能な関数としたとき、以下のようになります。
\[\int_{a}^{b} f(x)g'(x) dx= [f(x)g(x)]_{a}^{b} – \int_{a}^{b} f'(x)g(x)dx\]

定積分の部分積分の公式の証明

定積分の部分積分の公式は、不定積分の時と同じ流れで示せます。証明は以下のようになります。

部分積分の公式の覚え方

部分積分の公式は「親子親親マイナス子親」という語呂で覚えると覚えやすいです。

「親」は微分される前の関数($f(x),\,g(x)$)を表していて、「子」は微分されたあとの関数($f'(x),\,g'(x)$)のことを指しています。これを踏まえると、

となり、「親子親親マイナス子親」というリズムのよい言葉で部分積分の公式を思い出すことができます！

定積分の部分積分の公式は、積分区間を付け足すだけなので、不定積分の場合を覚えられていれば問題ありませんね。

部分積分を使うべき時

部分積分の公式を覚えている受験生はたくさんいますが、部分積分を使うべき時はいつなのか、どういうときに役立つのかを理解している受験生は少ないです。

部分積分は以下の4つのパターンのときに有効であることが多いです。

それぞれについて例題付きで詳しく見ていきましょう！

対数が含まれるとき

対数が含まれているときの積分は部分積分を用いることが多いです。例えば、以下の不定積分を考えてみましょう。
\[\int x(\log x)^2 dx\]

$\log$が含まれているものを部分積分するときに重要なのは、$\log$を必ず親だと見る(部分積分の公式の$f(x)$の方と見る)ことです。これは、$\log{x}$を微分すると$\frac{1}{x}$となって、多項式との積であった場合に、式が簡単になるからです。

部分積分をするときは、「親子親親マイナス子親」のリズムで公式を思い出せるように、$x(\log x)^2$ではなく、$(\log x)^2x$の順で書き並べておくとよいでしょう。

例題において、部分積分を適用すると、
\[\begin{align*}&\int (\log x)^2x dx \\=& (\log x)^2\cdot \frac{x^2}{2}-\int 2(\log x) \cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{2}dx\\=&(\log x)^2\cdot \frac{x^2}{2}-\int (\log x)xdx\end{align*}\]

となり、積分の計算部分が少し簡単な式になりました。$(\log x)^2$を微分するときには合成関数の微分公式を適用していることに注意してください。

$\int (\log x)xdx$について、もう一度部分積分を適用してあげれば、
\[\begin{align*}&\int (\log x)x dx \\=& (\log x)\cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{2}dx\\=&(\log x)\cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{x}{2}dx\\=&(\log x)\cdot \frac{x^2}{2} – \frac{x^2}{4} + C(Cは積分定数)\end{align*}\]

となるので、答えは、
\[(\log x)^2\cdot\frac{x^2}{2} – (\log x)\cdot\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} – C(Cは積分定数)\]

となります。(積分定数が$-C$となっていることに違和感を感じる人がいるかと思いますが、$+C$でも$-C$でも結局任意の定数を表せるので関係ないです。)

このようにして、$\log$が含まれたものを積分することができます。

三角関数と多項式の積のとき

三角関数と多項式の積の形も、部分積分が有効です。(ただし、三角関数の部分は$\sin$や$\cos$の1乗の形でなければならず、$\sin ^2x$のような形であれば、半角公式を利用したりして次数を下げましょう。)

例えば、以下の不定積分を考えてみましょう。
\[ \int x^2\sin xdx\]

三角関数と多項式の積を積分するときには、三角関数を子だと見る(部分積分の公式の$g'(x)$の方と見る)ことが大事です。

なぜなら、$\sin{x}$や$\cos{x}$は何度積分しても$\pm\sin x,\,\pm\cos x$のいずれかにしかならないので、式の複雑さが変化せず、多項式は微分するほど簡単な式になっていくからです。つまり、部分積分を繰り返すことによって、式をどんどん簡単にしていけるというわけですね。

例題において、部分積分を適用すると、
\[\begin{align*} &\int x^2\sin x dx\\ =& x^2(-\cos x) -\int 2x(-\cos x)dx\\ =& -x^2\cos x + 2\int x\cos x dx \end{align*}\]

となり、積分の計算部分の多項式のところが2次から1次になって少し簡単になりましたね。

$2\int x\cos x dx$にもう一度部分積分を適用すると、
\[\begin{align*} &2\int x\cos x dx\\ =&2x\sin x – 2\int \sin x dx\\ =&2x\sin x +2\cos x + C (Cは積分定数) \end{align*}\]

となるので、求める答えは、
\[-x^2\cos x+2x\sin x +2\cos x + C (Cは積分定数)\]

となります。

指数関数と多項式の積のとき

指数関数と多項式の積の形も、部分積分が有効です。

例えば、以下の不定積分を考えてみましょう。
\[\int x^2e^x dx\]

指数関数と多項式の積を積分するときには、三角関数のときと同様に指数関数を子だと見る(部分積分の公式の$g'(x)$の方と見る)ことが大事です。

なぜなら、$e^x$は何度積分しても$e^x$であるように、指数関数は積分しても式の複雑さが変化せず、多項式は微分するほど簡単な式になっていくからです。つまり、部分積分を繰り返すことによって、式をどんどん簡単にしていけるというわけですね。

例題において、部分積分を繰り返し適用していくと、
\[\begin{align*} &\int x^2e^x dx\\ =&x^2e^x – \int 2xe^x dx\\ =&x^2e^x – 2xe^x + \int 2e^x dx\\ =&x^2e^x – 2xe^x + 2e^x + C(Cは積分定数) \end{align*}\]

となり、求まります。

指数関数と三角関数の積のとき

指数関数と多項式の積の形のときも、先ほどの三角関数と多項式の積の時と同様に部分積分が有効です。

例えば、以下の不定積分を考えてみましょう。
\[\int e^x\sin xdx\]

指数関数と三角関数の積を積分するときには、指数関数と三角関数のどちらを親と見ても子と見ても構いません。ただし、一度「指数関数を子と見る」と決めたらそれを変えないように気をつけましょう。

例題において、指数関数の方を子と見て(部分積分の公式の$g'(x)$と見て)部分積分を適用すると、
\[\begin{align*} &\int e^x\sin xdx\\ =&e^x\sin x-\int e^x\cos x dx \end{align*}\]

となり、また、指数関数×三角関数の積分の形が出てきました。このとき、先ほどと同様に指数関数の方を子と見て部分積分を適用してください。そうすると、
\[\begin{align*} &e^x\sin x-\int e^x\cos x dx\\ =&e^x\sin x – e^x\cos x + \int e^x (-\sin x)dx\\ =&e^x\sin x – e^x\cos x-\int e^x\sin x dx \end{align*}\]

となり、求めたかった式と全く同じ形がもう一度出てきます。よって、これを移項してあげれば、積分が計算できますね。
\[\begin{align*} &\int e^x\sin x dx=e^x\sin x – e^x\cos x-\int e^x\sin x dx\\ \Leftrightarrow{}&\int e^x\sin x dx = \frac{1}{2}(e^x\sin x – e^x\cos x) + C(Cは積分定数) \end{align*}\]

このように、指数関数×三角関数の積分は、部分積分を二度行って、求めたい式と同じ形が出てくることによって計算ができます。

上で説明した他のパターンとは計算の流れが少し異なるので、しっかりと覚えておきたいですね。

まとめ