共通接線の問題5パターンの解き方を例題付きで解説！

$f(x)=-2x^2,\,g(x)=x^3-7x+4$と名付ける。

$y=g(x)$上の点を$(t,\,t^3-7t+4)$とおくと、接線の方程式は、$g'(x)=3x^2-7$であることより、

$$\begin{align*}&y=(3t^2-7)(x-t)+t^3-7t+4\\\Leftrightarrow&y=(3t^2-7)x-2t^3+4\end{align*}$$

となる。これが、$y=f(x)$に接するとき、2式から$y$を消去した$x$の2次方程式

$$2x^2+(3t^2-7)x-2t^3+4=0$$

が重解を持つので、この判別式が$0$になることより、

$$\begin{align*}&(3t^2-7)^2-8(-2t^3+4)=0\\\Leftrightarrow&9t^4+16t^3-42t^2+17=0\\\Leftrightarrow&(t-1)^2(9t^2+34t+17)=0\\\Leftrightarrow&t=1,\,\frac{-17\pm2\sqrt{34}}{9}\end{align*}$$

ここで、3次関数に2度接する直線は存在しないので、$t$の解と接線は1対1に対応する。したがって、求める共通接線は、3本

$f(x)=x^3-x,\,g(x)=x^3-x-4$と名付ける。

$y=f(x)$上の接点を$(s,\,s^3-s)$、$y=g(x)$上の接点を$(t,\,t^3-t-4)$とおくと、接線の方程式は、それぞれ、

$$\left\{\begin{array}{l}y=(3s^2-1)x-2s^3\\y=(3t^2-1)x-2t^3-4\end{array}\right.$$

となる。共通接線となるとき、これら2式が一致すれば良いので、係数を比較して、
$$\begin{align*}&\left\{\begin{array}{l}3s^2-1=3t^2-1\\-2s^3=-2t^3-4\end{array}\right.\\\Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{l}s=\pm t\\s^3=t^3+2\end{array}\right.\\\Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{l}s=1\\t=-1\end{array}\right.\end{align*}$$

したがって、求める共通接線の方程式は、
$$\boldsymbol{y=2x-2}$$

求める直線は$y$軸に平行でないので、$y=mx+n$とおくことができる。

$y=x^4-2x^2-2x+1$との接点の$x$座標を$\alpha,\,\beta(\alpha<\beta)$とおくと、2式から$y$を消去した4次方程式は$x=\alpha,\,\beta$において重解をもつので、2式から$y$を消去した4次方程式は、
$$x^4-2x^2-(2+m)x+1-n=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$$

と因数分解できる。
$$(右辺)=x^4-2(\alpha+\beta)x^3+(\alpha^2+\beta^2+4\alpha\beta)x^2\\-2\alpha\beta(\alpha+\beta)x+\alpha^2\beta^2$$

となるから、両辺の係数を比較して、
$$\left\{\begin{array}{l}\alpha+\beta=0\\\alpha^2+\beta^2+4\alpha\beta=-2\\2\alpha\beta(\alpha+\beta)=2+m\\\alpha^2\beta^2=1-n\end{array}\right.$$

第二式を変形して、
$$(\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta=-2$$

これに第一式$\alpha+\beta=0$を代入して、
$$\alpha\beta=-1$$

これらを第三式、第四式に代入して、$m=-2,\,n=0$が分かる。

ここで、$\alpha+\beta=0,\,\alpha\beta=-1$より、解と係数の関係から、$\alpha,\,\beta$は$t$の2次方程式$t^2-1=0$の解なので、$\alpha=-1,\,\beta=1$とわかり、たしかに2接点が存在する。

したがって、求める接線は、
$$\boldsymbol{y=-2x}$$

求める直線は$y$軸に平行ではないので、$y=mx+n$とおくことができる。これが、$x^2+y^2=1$に接するとき、中心$(0,\,0)$からの距離が半径$1$に等しくなるので、点と直線の距離の公式より、
$$\frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}}=1\Leftrightarrow n=\pm\sqrt{m^2+1}$$

同様にして、$(x-3)^2+y^2=1$に接する条件は、
$$\frac{|3m+n|}{\sqrt{m^2+1}}=1\Leftrightarrow 9m^2+n^2+6mn=m^2+1$$

$n=\sqrt{m^2+1}$を代入して、
$$\begin{align*}&9m^2+6m\sqrt{m^2+1}=0\\\Leftrightarrow&3m^2=- 2m\sqrt{m^2+1}\\\Leftrightarrow&m\leqq0,\,9m^4=4m^2(m^2+1)\\\Leftrightarrow&m=0,\,m=-\frac{2}{\sqrt{5}}\end{align*}$$

よって、
$$(m,\,n)=(0,\,1),\,\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\,\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$$

また、$n=-\sqrt{m^2+1}$のときも同様にして、
$$(m,\,n)=(0,\,-1),\,\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\,-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$$

したがって、求める共通接線の方程式は、
$$\boldsymbol{y=\pm1,\,y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}x\mp\frac{3}{\sqrt{5}}(複号同順)}$$

$y=x^3$上の接点の座標を$(t,\,t^3)$とおくと、接線の方程式は、
$$\begin{align*}&y=3t^2(x-t)+t^3\\\Leftrightarrow&y=3t^2x-2t^3\end{align*}$$

となる。これが、$y=x^2+x+c$に接するとき、これらから$y$を消去した2次方程式
$$x^2+(1-3t^2)x+c+2t^3=0$$

が重解を持つので、
$$\begin{align*}&(1-3t^2)^2-4(c+2t^3)=0\\\Leftrightarrow &9t^4-8t^3-6t^2+1=4c\end{align*}$$

となる。3次関数に二度接する直線は存在しないので、$t$の値が異なれば対応する接線も異なる。よって、共通接線が4本あることは、この方程式の実数解が4つあることと同値である。左辺を$f(t)$とおくと、
$$f'(t)=36t^3-24t^2-12t=12t(t-1)(3t+1)$$

であるから、増減表は以下のようになる。
$$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&\cdots&-\frac{1}{3}&\cdots&0&\cdots&1&\cdots\\\hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\searrow&\frac{20}{27}&\nearrow&1&\searrow&-4&\nearrow\\\hline\end{array}$$

したがって、$y=f(t)$のグラフは以下のようになる。

これと$y=4c$が異なる4つの共有点を持つような$c$の範囲は、
$$\frac{20}{27}<4c<1\Leftrightarrow \boldsymbol{\frac{5}{27}<c<\frac{1}{4}}$$