3倍角の公式の覚え方や証明は？入試問題付きでわかりやすく解説

$$\begin{align*}&\cos3\theta\\=&\cos(2\theta+\theta)\\=&\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta\\=&(2\cos^2\theta-1)\cos\theta+(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta\\=&2\cos^3\theta-\cos\theta+2\cos\theta(1-\cos^2\theta)\\=&4\cos^3\theta-3\cos\theta\end{align*}$$

$$\begin{align*}&\sin3\theta\\=&\sin(2\theta+\theta)\\=&\sin2\theta\cos\theta+\cos2\theta\sin\theta\\=&(2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta\\=&2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta\\=&-4\sin^3\theta+3\sin\theta\end{align*}$$

$$\begin{align*}&\tan3\theta\\=&\frac{\sin3\theta}{\cos3\theta}\\=&\frac{-4\sin^3\theta+3\sin\theta}{4\cos^3\theta-3\cos\theta}\\=&\frac{\sin\theta(-4\sin^3\theta+3)}{\cos\theta(4\cos^2\theta-3)}\\=&\tan\theta\frac{4\cos^2\theta-1}{4\cos^2\theta-3}\\=&\tan\theta\frac{4\frac{1}{1+\tan^2\theta}-1}{4\frac{1}{1+\tan^2\theta}-3}\\=&\frac{3\tan\theta-\tan ^3\theta}{1-3\tan ^2\theta}\end{align*}$$

$$\begin{align*}&\tan3\theta\\=&\tan(2\theta+\theta)\\=&\frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-\tan2\theta\tan\theta}\\=&\frac{\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}+\tan\theta}{1-\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tan\theta}\\=&\frac{2\tan\theta+\tan\theta(1-\tan^2\theta)}{(1-\tan^2\theta)-2\tan^2\theta}\\=&\frac{3\tan\theta-\tan ^3\theta}{1-3\tan ^2\theta}\end{align*}$$

(1)　3倍角の公式より、

$$4\cos^3\frac{2\pi}{9}-3\cos\frac{2\pi}{9}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$$

であるから、

$$\begin{align*}f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)=&2\left(4\cos^3\frac{2\pi}{9}-3\cos\frac{2\pi}{9}\right)+1\\=&0\end{align*}$$

 

(2)　(1)より$\cos\frac{2\pi}{9}$は$f(x)=0$の実数解の1つである。

(1)と同様にして、$\cos\frac{4\pi}{9},\,\cos\frac{8\pi}{9}$も$f(x)=0$の実数解であり、また、$0<x<\pi$の範囲において$\cos{x}$は単調減少するので、$\cos\frac{8\pi}{9}<\cos\frac{4\pi}{9}<\cos\frac{2\pi}{9}$が成り立つ。

したがって、$f(x)=0$は相異なる3つの実数解をもち、そのうち最大のものが$\cos\frac{2\pi}{9}$であることがしめされた。

 

(3)

$$f'(x)=24x^2-6=6(4x^2-1)$$

であるから、$x\geqq \frac{1}{\sqrt{2}}=\cos\frac{\pi}{4}$において$f(x)$は単調増加する。よって、

$$f\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)<f\left(\frac{3}{4}\right)<f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)$$

が言えれば題意は示される。

$$f\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)=1-\sqrt{2}<1-1.4=-0.4$$

$$f\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{1}{8}=-0.125$$

$$f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)=0$$

より、

$$f\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)<f\left(\frac{3}{4}\right)<f\left(\cos\frac{2\pi}{9}\right)$$

であるから、題意成立。

 

(4)　$\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=1$および(3)から、$\frac{2\pi}{9}<\theta<\frac{\pi}{4}$をみたす実数$\theta$を用いて、

$$\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}i=\cos\theta+i\sin\theta$$

と書くことができる。

$z$の実部と虚部はともに正であるから、求める$n$は$1$ではない。

ド・モアブルの定理より、

$$z^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta$$

であり、このとき、$\frac{4\pi}{9}<2\theta<\frac{\pi}{2}$より、$z^2$の実部と虚部はともに正であるから、求める$n$は$2$ではない。

同様にして、$n=3,\,4,\,\cdots$について調べていく。

$\frac{2\pi}{3}<3\theta<\frac{3\pi}{4}$より、$z^3$の実部は負であるから、求める$n$は$3$ではない。

$\frac{8\pi}{9}<4\theta<\pi$より、$z^4$の実部は負であるから、求める$n$は$4$ではない。

$\frac{10\pi}{9}<5\theta<\frac{5\pi}{4}$より、$z^5$の実部は負であるから、求める$n$は$5$ではない。

$\frac{4\pi}{3}<6\theta<\frac{3\pi}{2}$より、$z^6$の実部は負であるから、求める$n$は$6$ではない。

$\frac{14\pi}{9}<7\theta<\frac{7\pi}{4}$より、$z^7$の実部は正で虚部は負である。

$\frac{16\pi}{9}<8\theta<2\pi$より、$z^8$の実部は正で虚部は負である。よって、求める$n$は$7$ではない。

$2\pi<9\theta<\frac{9\pi}{4}$より、$z^9$の実部と虚部はともに正であるから、$n=8$が題意を満たす最小の自然数である。したがって、

$$\boldsymbol{n=8}$$